Question

15．如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求折痕EF的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質，易證得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由AC⊥EF，則可證得四邊形AFCE是菱形；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AC的長，由菱形的性質可得出OA的長，再設BF=x，則AF=8-x，根據(jù)勾股定理求出OF的長，進而可得出結論．

解答 （1）證明：四邊形AFCE的形狀是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質可得：OA=OC，AC⊥EF，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）解：∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．
∵四邊形AFCE是菱形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5cm．
設BF=xcm，則AF=（8-x）cm，
∵AB²+BF²=AF²，
∴6²+x²=（8-x）²，解得x=$\frac{7}{4}$cm，
∴AF=8-x=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$cm，
∴OF=$\sqrt{A{F}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$cm，
∴EF=2OF=$\frac{15}{2}$cm．

點評 本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．