Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線(xiàn)互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的直徑為4，∠DAB=60°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周（與C不重合）后停止，當(dāng)△ABP的面積和△ABC面積相等時(shí)，求點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明DC為⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠OCD=90°即可．
（2）分三種情形計(jì)算即可）①當(dāng)∠AOP=60°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等，②當(dāng)∠AOP=120°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等，③當(dāng)∠AOP=300°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等．

解答 （1）證明：如圖，連接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
∴∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）①當(dāng)∠AOP=60°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等，
點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{60π•2}{180}$=$\frac{2π}{3}$．
②當(dāng)∠AOP=120°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等，
點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．
③當(dāng)∠AOP=300°時(shí)，△ABP的面積和△ABC面積相等，
點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{300π•2}{180}$=$\frac{10π}{3}$．
綜上所述，當(dāng)△ABP的面積和△ABC面積相等時(shí)，求點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$或$\frac{10π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，注意本題一題多解，屬于中考�？碱}型．