Question

18．已知拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，已知CD=$\sqrt{2}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作PM∥y軸，交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將（1）中的拋物線向上平移m（m＞0）個(gè)單位，與直線CD交于G、H兩點(diǎn)，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為E，是否存在實(shí)數(shù)m，使得GH⊥EH？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)解析式直接得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，又可根據(jù)CD的長(zhǎng)得出C的坐標(biāo)，代入解析式中即可得出a的值，即得拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（x，-x+3），則M（x，-x²+2x+3），利用S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值；
（3）首先得出△DHE為等腰直角三角形，進(jìn)而利用點(diǎn)H在拋物線：y=-（x-1）²+4+m上，得出4+$\frac{1}{2}$m=-（1+$\frac{1}{2}$m-1）²+4+m，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CE⊥DM于點(diǎn)E，
∵y=a（x-1）²+4，
∴可得其頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），C（0，a+4），
∴CE=1，由勾股定理得：DE=1，
DE=DM-EM=4-（a+4）=1，
∴a=-1
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）如圖2，設(shè)P（x，-x+3），則M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•NO+$\frac{1}{2}$PM•NB=$\frac{1}{2}$PM（NO+BN）=$\frac{1}{2}$PM•BO=$\frac{3}{2}$PM，
∴S_△BCM=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BCM的面積最大，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）；

解法2：如圖2，因?yàn)锽C長(zhǎng)為定值，所以BC上高要最大，將BC平移至與拋物線相切時(shí)高最大
BC的解析式y(tǒng)=-x+3，設(shè)ME的解析式y(tǒng)=-x+b
代入y=-x²+2x+3得x²-3x+b-3=0，
∴△=b²-4ac=9-4（b-3）=0，
解得：b=$\frac{21}{4}$，
當(dāng)b=$\frac{21}{4}$時(shí)，代入x²-3x+b-3=0得唯一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）；

（3）如圖3，作拋物線的對(duì)稱軸EP，CN⊥EP于N，HM⊥EP于M，由（1）中得△DNC為等腰直角三角形，
∴△DHE也為等腰直角三角形，
∴EM=DM=HM=$\frac{1}{2}$m，
∴H（1+$\frac{1}{2}$m，4+$\frac{1}{2}$m ），
∵點(diǎn)H在拋物線：y=-（x-1）²+4+m上，
∴4+$\frac{1}{2}$m=-（1+$\frac{1}{2}$m-1）²+4+m，
∴$\frac{1}{4}$m²=$\frac{1}{2}$m，
∴m=2或m=0（舍去）
∴m的值為：m=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線解析式的確定方法、勾股定理、三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合以及圖象上點(diǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．