Question

9．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．點(diǎn)A、B分別在坐標(biāo)軸上，且x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則$\frac{CD}{AM}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=BC=a，根據(jù)勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）aAM=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，再證明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到$\frac{AB}{CD}=\frac{AM}{CM}$，即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，即可解答..

解答 解：設(shè)AB=BC=a，
則AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2}$a
∵M(jìn)A（即x軸）平分∠BAC
∴$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即MC=$\sqrt{2}$BM
∵BC=BM+MC=a，
∴BM+$\sqrt{2}$BM=a
解得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a
則AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，
∵∠ABM=∠CDM=90°
且∠AMB=∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AM}{CM}$，
即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，
∴$\frac{CD}{AM}=\frac{AB•CM}{A{M}^{2}}$=$\frac{a•（2-\sqrt{2}）a}{（\sqrt{4-2\sqrt{2}}a）^{2}}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明Rt△ABM∽Rt△CDM．