Question

11．已知正方形ABCD，頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B、D分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{16}{x}$（x＞0）的圖象上，如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以每秒4個(gè)單位速度從D點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊DC-CB-BA方向順時(shí)針折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求該正方形的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示以點(diǎn)Q、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積S，并求出自變量t的取值范圍；
（3）連接PD，當(dāng)以點(diǎn)Q和正方形的某兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形和△PAD全等時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，a），將其代入反比例函數(shù)解析式即可得到a=4；
（2）分點(diǎn)Q在CD，BC，AB邊上，由三角形面積公式和組合圖形的面積計(jì)算即可求解；
（3）分點(diǎn)Q在CD，BC，AB邊上，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，a）（a＞0），則
a=$\frac{16}{a}$，
解得a=4．
即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
所以正方形的邊長(zhǎng)為4；

（2）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，Q在DC上，DQ=4t，則S=$\frac{1}{2}$×4t×4=8t；
當(dāng)1≤t≤2時(shí)，Q在BC上，則BP=4-t，CQ=4t-4，AP=t，
則S=S_{正方形ABCD}-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=16-$\frac{1}{2}$AP•AD-$\frac{1}{2}$PB•BQ-$\frac{1}{2}$DC•CQ=16-$\frac{1}{2}$t×4-$\frac{1}{2}$（4-t）•[4-（4t-4）]-$\frac{1}{2}$×4（4t-4）=-2t²+2t+8；
當(dāng)2≤t≤$\frac{12}{5}$時(shí)，Q在AB上，PQ=12-5t，則s=$\frac{1}{2}$×4×（12-5t），即S=-10t+24．
總之，S=$\left\{\begin{array}{l}{8t（0＜t≤1）}\\{-2t2+2t+8（1≤t≤2）}\\{-10t+24（2≤t≤\frac{12}{5}）}\end{array}\right.$；

（3）當(dāng)Q在DC上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=$\frac{4}{5}$，
則DQ=4t=$\frac{16}{5}$，即Q₁（$\frac{16}{5}$，4）；
當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，有兩個(gè)位置，如圖所示：

若Q在上邊，則△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=$\frac{4}{3}$，
則QB=8-4t=$\frac{8}{3}$，此時(shí)Q₂（4，$\frac{8}{3}$）；
若Q在下邊，則△APD≌△BQA，
則AP=BQ，即8-4t=t，解得t=$\frac{8}{5}$，
則QB=$\frac{8}{5}$，即Q₃（4，$\frac{8}{5}$）；
當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=$\frac{8}{3}$，
因?yàn)?≤t≤$\frac{12}{5}$，所以t=$\frac{8}{3}$不合題意，舍去．
綜上所述Q₁（$\frac{16}{5}$，4）； Q₂（4，$\frac{8}{3}$），Q₃（4，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算．解題時(shí)要對(duì)點(diǎn)Q的不同位置進(jìn)行分類討論，以防漏解，該題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．