Question

5．如圖，拋物線與x軸交于點和A（-1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P是拋物線BC段上一點，PD⊥BC，PE∥y軸，分別交BC于點D、E．當DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$時，求點P的坐標；
（3）M是平面內(nèi)一點，將符合（2）條件下的△PDE繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點P、D、E的對應(yīng)點分別是P′、D′、E′．設(shè)P′E′的中點為N，當拋物線同時經(jīng)過D′與N時，求出D′的橫坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=a（x+1）（x-4），把C（0，2）代入求得a的值即可；
（2）延長PE交x軸與點F．依據(jù)勾股定理可求得BC的長，然后再證明△PDE∽△BOC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得PE=2，求得BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，設(shè)點P的坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則E（x，-$\frac{1}{2}$x+2），依據(jù)PE=2可得到關(guān)于x的方程，從而可求得點P的坐標；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，然后依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可求得P′N=1，過點D′作D′H⊥P′E′，可求得D′H的長，從而得到P′H的長，然后可求得NH的長，設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則N（x-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$），把N代入拋物線的解析式可求得x的值，從而得到點D的橫坐標．

解答 解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-4），把C（0，2）代入解得a=$-\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如圖1所示：延長PE交x軸與點F．

∵OC=2，OB=4，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵PD⊥BC，CO⊥OB，
∴∠COB=∠PDE=90°．
∵∠PDE=∠EFB，∠PED=∠FEB，
∴∠DPE=∠CBO．
∴△PDE∽△BOC．
∴$\frac{DE}{PE}$=$\frac{OC}{BC}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{PE}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得PE=2．
設(shè)BC的解析式為y=kx+2，將點B的坐標代入得：4k+2=0，解得：k=-$\frac{1}{2}$．
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設(shè)點P的坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則E（x，-$\frac{1}{2}$x+2）．
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=2，解得x₁=x₂=2．
∴點P的坐標為（2，3）．
（3）旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖2所示：過點D′作D′H⊥P′E′，垂足為H．

∵∠P'D'E'=90°，N是斜邊P'E'的中點，
∴D′B=$\frac{1}{2}$P′E′=1．
∵$\frac{1}{2}$P′D′•E′D′=$\frac{1}{2}$P′E′•HD′，
∴D′H=$\frac{P′D′×D′E′}{P′E′}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
∴HP′=$\frac{8}{5}$．
∴HN=P′H-P′N=$\frac{3}{5}$．
設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則N（x-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$），
把N點坐標代入拋物線得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{5}$）+2，解得：解得x=$\frac{47}{15}$．
∴點D′的橫坐標為$\frac{47}{15}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定，列出PE的長與點P的坐標之間的函數(shù)關(guān)系式解答問題（2）的關(guān)鍵、用含x的式子表示出點N的坐標是解答問題（3）的關(guān)鍵．