Question

2．如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4$\sqrt{3}$，點P是射線AB上動點，點E在邊AC上，AE=PE，過點P作PE的垂線交射線AC于點F；若AP=x，△PEF與△ABC重合的部分面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤8，8＜x≤12，12＜x＜b時，函數(shù)的解析式不同）
（1）求a的值；
（2）當(dāng)P與B重合時，求x的值；
（3）小明觀察圖形后提出猜想“當(dāng)點F與點C重合時S最大”，請說明小明的猜想是否正確，如果正確，求出最大值，如果不正確，請說明理由．
（4）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象即可得出結(jié)論．
（2）觀察圖象可得結(jié)論．
（3）小明的猜想錯誤．當(dāng)點F與點C重合時，由圖2可知，S=m，m表示S的最大值．
（4）分三種情形①0＜x≤8，②8＜x≤12，③12＜x＜24時，分別求解即可．

解答 解：（1）由圖象可知，a=8．

（2）觀察圖象可知，P與B重合時，x=12．

（3）小明的猜想錯誤．當(dāng)點F與點C重合時，由圖2可知，S=m，m表示S的最大值．

（4）由題意，BC=4$\sqrt{3}$，AB=12，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=30°，
∴∠FEP=∠EAP+∠EPA=60°，
①如圖1中，當(dāng)0＜x≤8時，重疊部分是△EPF，

∴S=$\frac{1}{2}$•EP•PF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²
②如圖3中，當(dāng)8＜x≤12時，重疊部分是四邊形EPMC，

S=S_△EPF-S_△CFM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{3}}{12}$x²+12$\sqrt{3}$-48$\sqrt{3}$．
③當(dāng)12＜x＜24時，重疊部分是等邊三角形△ECM，

S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-4$\sqrt{3}$x+48$\sqrt{3}$．
綜上所述S=.$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}&{（0＜x≤8）}\\{-\frac{7\sqrt{3}}{12}{x}^{2}+12\sqrt{3}x-48\sqrt{3}}&{（8＜x≤12）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-4\sqrt{3}x+48\sqrt{3}}&{（12＜x＜24）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查動點問題函數(shù)圖象、30度的直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖象信息，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會用分段函數(shù)表示函數(shù)解析式，屬于中考�？碱}型．