Question

14．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，BD與過點C的切線垂直于點D，BD與⊙O交于點E．
（1）求證：BC平分∠DBA；
（2）連接AE和AC，若cos∠ABD=$\frac{1}{2}$，OA=m，請寫出求四邊形AEDC面積的思路．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC，由CD是⊙O的切線，推出OC⊥CD，由BD⊥CD，推出OC∥BD，推出∠OCB=∠CBD，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，即可推出∠CBO=∠CBD；
（2）如圖連接AC、AE．易知四邊形AEDC是直角梯形，求出CD、AE、DE即可利用梯形面積公式計算即可．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBO=∠CBD，
∴BC平分∠DBA

（2）解：如圖連接AC、AE．

∵cos∠ABD=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=60°，
由（1）可知，∠ABC=∠CBD=30°，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2m，
∴BC=AB•cos30°=$\sqrt{3}$m，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠BAE=30°，AB=2m，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=m，AE=$\sqrt{3}$m，
在Rt△CDB中，∵∠D=90°，∠CBD=30°，BC=$\sqrt{3}$m，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，BD=$\frac{3}{2}$m，
∴DE=DB-BE=$\frac{1}{2}$m．
∴S_梯形AEDC=$\frac{1}{2}$•（CD+AE）•DE=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$m²．
解題思路：寫通順即可！

點評 本題考查切線的性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的定義、解直角三角形等特殊角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．