Question

4．已知x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的兩個實數根．
（1）當m=0時，求方程的根；
（2）若（x₁-2）（x₂-2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一邊長為9，若x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）將m=0代入方程x²-2（m+2）x+m²=0，得到x²-4x=0，利用因式分解法求解即可；
（2）利用（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，求得m的值，再利用根的判別式檢驗即可；
（3）分9為底邊和9為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長．

解答 解：（1）當m=0時，方程即為x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4；

（2）∵x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=2（m+2），x₁x₂=m²，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，
∴m²-4m-45=0，
解得m₁=9，m₂=-5．
當m₁=9時，方程為x²-22x+81=0，△=（-22）²-4×81=160＞0，符合題意；
當m₁=-5時，方程為x²+6x+25=0，△=6²-4×25=-64＜0，不符合題意；
故m的值為9；

（3）①當9為底邊時，此時方程x²-2（m+2）x+m²=0有兩個相等的實數根，
∴△=4（m+2）²-4m²=0，
解得：m=-1，
∴方程變?yōu)閤²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∵1+1＜9，
∴不能構成三角形；
②當9為腰時，設x₁=9，
代入方程得：81-18（m+2）+m²=0，
解得：m=15或3，
當m=15時方程變?yōu)閤²-34x+225=0，
解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能組成三角形；
當m=3時方程變?yōu)閤²-10x+9=0，
解得：x=1或9，
此時三角形的周長為9+9+1=19．

點評 本題考查了根的判別式，根與系數的關系，三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟知兩根之和和兩根之積分別與系數的關系．