Question

6．如圖①，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線及直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），直接寫出使得MN+MD的值最小時(shí)m的值．
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B、E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．
（4）點(diǎn)P是圖①中直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過點(diǎn)P與x軸垂直的直線交AC于點(diǎn)Q，如圖②，若線段PQ將△PAC分成兩部分的面積比為1：3，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求出AC的函數(shù)解析式；
（2）利用軸對(duì)稱求最短路徑的知識(shí)，找到N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N'D，N'D與直線x=3的交點(diǎn)即是點(diǎn)M的位置，繼而求出m的值．
（3）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出F的坐標(biāo)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出x的值，繼而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)面積的比，可得（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=1：3，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3），可得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線為y=-x²+2x+3，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+n，將點(diǎn)A（-1，0）、C（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
故直線AC為y=x+1．

（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，
則m=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，1）．
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x-1），
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）
綜上可得滿足條件的點(diǎn)E為E（0，1）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）；
（4）S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•（x_P-x_A），S_△CPQ=$\frac{1}{2}$AP（x_C-x_P），
S_△APQ：S_△CPQ=1：3，即（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=1：3，解得x=-$\frac{1}{4}$，y=-x²+2x+3=$\frac{39}{16}$，即P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{39}{16}$）；
S_△APQ：S_△CPQ=3：1，即（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=3：1，解得x=$\frac{5}{4}$，y=-x²+2x+3=$\frac{63}{16}$，即P（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$），
綜上所述：若線段PQ將△PAC分成兩部分的面積比為1：3，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-$\frac{1}{4}$，$\frac{39}{16}$）（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及平行四邊形的性質(zhì)，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．