Question

11．已知拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（-1，0），B（2，0），C三點．直線y=mx+$\frac{1}{2}$交拋物線于A，Q兩點，點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點N．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，當(dāng)點P運動到什么位置時，線段PN=2NF，求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，點M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最��？若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后求得a，b的值，從而得到問題的答案；
（2）把A（-1，0）代入y=mx+$\frac{1}{2}$求得m的值，可得到直線AQ的解析式，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，-n²+n+2），N（n，$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的長，然后依據(jù)PN=2NF列方程求解即可；
（3）連結(jié)AM交直線DE與點G，連結(jié)CG、CM此時，△CMG的周長最小，先求得點M的坐標(biāo)，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得兩直線的交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（-1，0），B（2，0），
∴將點A和點B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{4a+2b+2=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）直線y=mx+$\frac{1}{2}$交拋物線與A、Q兩點，把A（-1，0）代入解析式得：m=$\frac{1}{2}$，
∴直線AQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，-n²+n+2），N（n，$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（n，0），
∴PN=-n²+n+2-（$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$）=-n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$，NF=$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$．
∵PN=2NF，即-n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=2×（$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$），解得：n=-1或$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n=-1時，點P與點A重合，不符合題意舍去．
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
（3）∵y=-x²+x+2，=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
如圖所示，連結(jié)AM交直線DE與點G，連結(jié)CG、CM此時，△CMG的周長最�。�

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b，且過A（-1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{\frac{1}{2}k+b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線AM的函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{2}x$+$\frac{3}{2}$．
∵D為AC的中點，
∴D（-$\frac{1}{2}$，1）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2，將點A的坐標(biāo)代入得：-k+2=0，解得k=2，
∴AC的解析式為y=2x+2．
設(shè)直線DE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+c，將點D的坐標(biāo)代入得：$\frac{1}{4}$+c=1，解得c=$\frac{3}{4}$，
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$．
將y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$與y=$\frac{3}{2}x$+$\frac{3}{2}$聯(lián)立，解得：x=-$\frac{3}{8}$，y=$\frac{15}{16}$．
∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（-$\frac{3}{8}$，$\frac{15}{16}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，用含n的式子表示出PN、NF的長是解答問題（2）的關(guān)鍵；明確相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)乘積為-1是解答問題（3）的關(guān)鍵．