Question

1．（1）已知：A=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$，B=$\frac{1}{\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}$+…$\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}$，求A-B的值？
（2）解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2x+y-1}\\{yz=2z+3y-8}\\{zx=4z+3x-8}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）裂項(xiàng)即可；
（2）將x和z分別都用y表示出來，代入第三個(gè)方程，解出y，然后就可以解出x、z．

解答 解：（1）∵A=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$=$\sqrt{100}$-1=9
B=$\frac{\sqrt{1}}{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+…+\frac{\sqrt{99}}{99}-\frac{\sqrt{100}}{100}$=$\frac{9}{10}$，
∴A-B=$\frac{81}{10}$；

（2）將原方程組的三個(gè)方程編號(hào)：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2x+y-1①}\\{yz=2z+3y-8②}\\{zx=4z+3x-8③}\end{array}\right.$
由①得：$x=\frac{y-1}{y-2}$，④
由②得：$z=\frac{3y-8}{y-2}$，⑤
將④⑤代入③得：$\frac{y-1}{y-2}•\frac{3y-8}{y-2}=\frac{4（3y-8）}{y-2}+\frac{3（y-1）}{y-2}-8$，
（y-1）（3y-8）=4（3y-8）（y-2）+3（y-1）（y-2）-8（y-2）（y-2），
3y²-11y+8=4（3y²-14y+16）+3（y²-3y+2）-8（y²-4y+4），
3y²-11y+8=12y²-56y+64+3y²-9y+6-8y²+32y-32，
4y²-22y+30=0，
2（y-3）（2y-5）=0，
∴y=3或=$\frac{5}{2}$，
將y=3分別代入④⑤得：x=2，z=1；
將y=$\frac{5}{2}$分別代入④⑤得：x=3，z=-1；
綜上所述，方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\\{z=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{5}{2}}\\{z=-1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題是計(jì)算題，主要考查實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算、二次根式的化簡、裂項(xiàng)技巧、三元二次方程組的解法等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．第（1）小題清楚裂項(xiàng)公式是關(guān)鍵；
第（2）小題的基本思想是消元，任意選擇兩個(gè)方程將兩個(gè)未知數(shù)用第三個(gè)未知數(shù)表示，即可代入第三個(gè)方程，解出一個(gè)未知數(shù)之后，剩下兩未知數(shù)就可直接算出．