Question

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+4k與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以AO、BO為鄰邊作矩形AOBC，其面積是8．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，連接PQ，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積為$\frac{13}{4}$；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)t=1時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得∠MQP=45°？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的面積公式，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，勾股定理逆定理，可得∠NPQ=90°，∠PON=45°，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）由直線y=kx+4k與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，得
當(dāng)x=0時(shí)，y=4k，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），
當(dāng)y=0時(shí)，kx+4k=0，解得x=-4，即（-4，0），
由AO、BO為鄰邊作矩形AOBC，其面積是8，得
4×4k=8，解得k=$\frac{1}{2}$，
直線AB的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）由點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，得
PO=2t，AP=4-2t，QB=t，OQ=2-t．
由S_△CPQ=S_矩形ACBO-S_△ACP-S_△POQ-S_△BCQ=$\frac{13}{4}$，
8-$\frac{1}{2}$（4-2t）×2-$\frac{1}{2}$•2t（2-t）-$\frac{1}{2}$×4t=$\frac{13}{4}$，
解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△CPQ的面積為$\frac{13}{4}$；
（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，0）
如圖：

t=1時(shí)，P（-2，0），Q（0，1），
取N（-1，-2），
PQ²=5，PN²5，BN²=10，
PQ²+PN²=NQ²，PQ=PN．
∠NPQ=90°，∠PON=45°．
設(shè)NQ的解析式為y=kx+b，將Q、N的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=3}\end{array}\right.$，
NQ的解析式為y=3x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，3x+1=0，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
即M（-$\frac{1}{3}$，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用舉行的面積得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用圖形割補(bǔ)法得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵；利用勾股定理、勾股定理的逆定理得出∠PQN是解題關(guān)鍵．