Question

4．如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，得到四邊形EFGH．
（1）當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時，請判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；
（2）若四邊形ABCD的面積為6，則四邊形EFGH的面積為12．若四邊形EFGH的面積為6，則四邊形ABCD的面積為3．
（3）請寫出四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積之間的關(guān)系式為S_{四邊形EFGH}=2S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)等腰梯形的對角線相等，即可證明平行四邊形EFGH的鄰邊相等，即可證得；
（2）根據(jù)平行四邊形以及三角形的面積公式即可證得；
（3）根據(jù)（2）的過程即可求解．

解答 解：（1）四邊形EFGH的形狀為菱形；
理由是：∵HG∥AC∥EF，EH∥BD∥GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形AHGC是平行四邊形，
∴AC=GH，
同理，EH=BD，
又∵等腰梯形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四邊形EFGH是菱形；
（2）∵四邊形AHGC是平行四邊形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形AHGC}，
同理，S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形AEFC}，
∴S_{四邊形EFGH}=2S_{四邊形ABCD}=12；
同理，當(dāng)四邊形EFGH的面積為6，則四邊形ABCD的面積為3．
故答案是：12，3；
（3）S_{四邊形EFGH}=2S_{四邊形ABCD}．

點評 本題考查了菱形的判定與等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形和三角形的面積公式證明S_{四邊形EFGH}=2S_{四邊形ABCD}是關(guān)鍵．