Question

9．閱讀下面的材料：
在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義．下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k₁x+b₁（k₁≠0）的圖象為直線l₁，一次函數(shù)y=k₂x+b₂（k₂≠0）的圖象為直線l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我們就稱直線l₁與直線l₂互相平行．
解答下面的問題：
（1）已知一次函數(shù)y=-2x的圖象為直線l₁，求過點P（1，4）且與已知直線l₁平行的直線l₂的函數(shù)表達式，并在坐標(biāo)系中畫出直線l₁和l₂的圖象；
（2）設(shè)直線l₂分別與y軸、x軸交于點A、B，過坐標(biāo)原點O作OC⊥AB，垂足為C，求l₁和l₂兩平行線之間的距離OC的長；
（3）若Q為OA上一動點，求QP+QB的最小值，并求取得最小值時Q點的坐標(biāo)．
（4）在x軸上找一點M，使△BMP為等腰三角形，求M的坐標(biāo)．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l₂的解析式為y=-2x+b，把點P（1，4）代入即可求得b的值，進而求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求出A和B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求得；
（3）B關(guān)于y軸的對稱點B'（-3，0），連結(jié)B'P交y軸于Q，求得PB'的解析式，則Q的坐標(biāo)即可求得；
（4）分B、M和P分別是等腰三角形的頂角的頂點三種情況進行討論，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵l₁∥l₂，
∴設(shè)直線l₂的解析式為y=-2x+b，
把點P（1，4）代入得，4=-2+b，b=6
∴y=-2x+6（1分），
畫圖如右圖所示   
（2）直線l₂與y軸、x軸的交點A、B的坐標(biāo)，分別為（0，6），（3，0）；
∵OA=6，OB=3，則AB=$3\sqrt{5}$，
又S_△AOB=2OA×OB=AB×OC，
∴$OC=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$（或$\frac{6}{5}\sqrt{5}$）
（3）∵B關(guān)于y軸的對稱點B'（-3，0），連結(jié)B'P交y軸于Q，
∴QP+QB的最小值為$4\sqrt{2}$，
∵直線B'P的解析式為y=x+3，
∴Q（0，3），
（4）過P作PD⊥x軸于點D，則D的坐標(biāo)是（1，0），當(dāng)P是等腰△PBM的頂角頂點時，M的坐標(biāo)是（-1，0）；
在直角△PBD中，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則當(dāng)B是等腰△PBM的頂角的頂點時，M的坐標(biāo)是（3+2$\sqrt{5}$，0）或M（3-2$\sqrt{5}$，0）；
PB的中點是（2，2），設(shè)過（2，2）且與AB垂直的直線的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x+c，
則1+c=2，
解得：c=1，
則函數(shù)的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+1．
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2．
則M的坐標(biāo)是（-2，0）．
總之，M（-1，0）或M（-2，0）或M（3+2$\sqrt{5}$，0）或M（3-2$\sqrt{5}$，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確進行討論是本題的關(guān)鍵．