Question

14．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）直線y=x+1與拋物線相交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，當(dāng)△PAD與△CAD的面積相等時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在動點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使得∠PAD=∠CAD，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A點(diǎn)和C點(diǎn)代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、即可得到拋物線的解析式；
（2）直線AD交y軸于M，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得到D（3，4），再求出M（0，1），過點(diǎn)C作直線平行于AD，則此直線的解析式為y=x+4，接著解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$得P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；把直線y=x+4向下平移6個單位得到直線y=x-2，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$）；
（3）直線AP交y軸于N，如圖2，設(shè)N（0，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到AC=$\sqrt{17}$，AN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，再利用平行線的性質(zhì)定理得到$\frac{MC}{MN}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{3}{1-t}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，解方程得t₁=4（舍去），t₂=$\frac{1}{4}$，則N（0，$\frac{1}{4}$），于是利用待定系數(shù)法求出直線AN的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得此時P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；

（2）直線AD交y軸于M，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，則D（3，4），
當(dāng)x=0時，y=x+1=1，則M（0，1），
過點(diǎn)C作直線平行于AD，則此直線的解析式為y=x+4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，則此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；
把直線y=x+4向下平移6個單位得到直線y=x-2，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{7}}\\{y=-1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}}\\{y=-1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）或（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$）；

（3）存在．
直線AP交y軸于N，如圖2，設(shè)N（0，t），
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，AN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
因為∠PAD=∠CAD，
即AD平分∠CAP，
所以$\frac{MC}{MN}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{3}{1-t}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
整理得4t²-17t+4=0，解得t₁=4（舍去），t₂=$\frac{1}{4}$，則N（0，$\frac{1}{4}$）
設(shè)直線AN的解析式為y=kx+m，
把A（-1，0），N（0，$\frac{1}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+m=0}\\{m=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{m=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以直線AN的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=\frac{19}{16}}\end{array}\right.$，
所以此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{15}{4}$，$\frac{19}{16}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．