Question

2．如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點C′處，C′B交AD于點E．剪去不重疊的部分．
（1）圖中不重疊的兩個部分（△ABE與△C′DE）是否全等？說明理由．
（2）將重疊部分展開，得到的四邊形是什么四邊形？為什么？
（3）若DC′與BA延長線的交點為P，且C′恰為DP的中點，AB=$\sqrt{3}$，如圖2，求（2）中所得四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得DC′=DC，∠C′=∠C；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABE≌△C′DE即可．
（2）首先根據(jù)△ABE≌△C′DE，可得BE=DE，所以展開所得的四邊形的四條邊相等，然后根據(jù)菱形的特征，判斷出將重疊部分展開，得到的四邊形是菱形即可．
（3）首先判斷出∠ABC′=30°，AE=$\frac{1}{2}$BE，然后設(shè)AE=x，則BE=2x，分別求出△AED、△ABE、△ABD的面積，即可求出（2）中所得的菱形的面積是多少．

解答 解：（1）△ABE≌C′DE，
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
由折疊可知，DC′=DC，∠C′=∠C，
∴∠A=∠C′，AB=C′D，
又∵∠AEB=∠C′ED，
在△ABE與△C′DE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=C′D}\\{∠A=∠C′}\\{∠AEB=∠C′ED}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C′DE，
即圖中不重疊的兩個部分△ABE與△C′DE全等．

（2）將重疊部分展開，得到的四邊形是菱形，
由（1），可得△ABE≌△C′DE，
∴BE=DE，
∴展開所得的四邊形的四條邊相等，
∴將重疊部分展開，得到的四邊形是菱形．

（3）在△BDC′和△BPC′中，
∵DC′=PC′，∠DC′B=∠PC′B=90°，BC′=BC′，
∴∠ABC′=∠DBC′=∠DBC，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABC′=30°，
∴$AE=\frac{1}{2}BE$，
設(shè)AE=x，則BE=2x，
∴x²${+（\sqrt{3}）}^{2}$=（2x）²，
解得x=1，
∴AE=1，BE=2，AD=3，
∴${S}_{△AED}=\frac{1}{2}AB．AD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•AE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△BDE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴（2）中所得的菱形的面積是2$\sqrt{3}$．

點評 （1）此題主要考查了翻轉(zhuǎn)變換，以及全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的判定方法．
（2）此題還考查了菱形的特征和判斷，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．