Question

7．如果一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的各條邊上，那么就稱這個(gè)矩形為此三角形的內(nèi)矩形如圖1，矩形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)接矩形后，小明對(duì)此產(chǎn)生了濃厚的興趣，并做了以下探索與猜想．
（一）探究與發(fā)現(xiàn)：
已知：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．小明利用位似圖形的方法，做出Rt△ABC的內(nèi)接正方形CDEF，請(qǐng)你參照小明的方法，在圖3中畫出Rt△ABC的內(nèi)接正方形，使正方形的一邊落在AB邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在BC、AC上．（不寫畫法，保留畫法，保留畫圖痕跡，畫圖工具不限）

（2）請(qǐng)問(wèn)圖3中的內(nèi)接正方形的面積是該三角形內(nèi)接矩形的最大面積嗎？不是（填“是”或“不是”），若不是，則該三角形內(nèi)接矩形的最大面積是3．
（3）經(jīng)過(guò)探究小明發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的內(nèi)接矩形一定存在最大面積，且內(nèi)接矩形的最大面積與直角三角形面積的比是$\frac{1}{2}$．
（二）猜想與說(shuō)理：
小明猜想：在Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AB=c，斜邊AB上的高為h，（其中c，h為常數(shù)）則該三角形的內(nèi)接矩形的對(duì)角線一定存在最小值．小明的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)你求出三角形內(nèi)接矩形對(duì)角線的最小值、若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （一）（1）可先在Rt△ABC內(nèi)畫一個(gè)正方形PQST，使得點(diǎn)P在邊BC上，邊TS在邊AB上，然后連接BQ并延長(zhǎng)，交AC于G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥AB于E，根據(jù)位似變換可知四邊形EFGH即為所求作；
（2）可先運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出Rt△ABC內(nèi)接正方形的面積，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值性求出Rt△ABC內(nèi)接矩形的最大值，然后通過(guò)比較就可解決問(wèn)題；
（3）由于內(nèi)接矩形的最大面積已求，只需求出Rt△ABC的面積，就可解決問(wèn)題；
（二）可設(shè)GH=x，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出CM（用c、h、x表示），然后在Rt△EHG中運(yùn)用勾股定理表示EG²，然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值性求出EG²的最小值，從而可得到EG的最小值．

解答 解：（一）（1）如圖3所示，正方形EFGH即為所求作．


（2）①若矩形EFGH是正方形，
過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，交GH于M，則CM⊥GH．如圖4，

設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，則有GH=EH=MN=x．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，CN=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴CM=$\frac{12}{5}$-x．
∵四邊形EFGH是正方形，
∴GH∥EF，
∴△CGH∽△CAB．
∵CM⊥GH，CN⊥AB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{x}{5}$，
解得：x=$\frac{60}{37}$，
∴S_{正方形EFGH}=（$\frac{60}{37}$）²．
②若矩形EFGH不是正方形，
過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，交GH于M，則CM⊥GH．如圖5，

∵$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$（已證），CN=$\frac{12}{5}$，AB=5，
∴CM=$\frac{CN•GH}{AB}$=$\frac{\frac{12}{5}•GH}{5}$=$\frac{12}{25}$GH．
設(shè)GH=x，則CM=$\frac{12}{25}$x，MN=$\frac{12}{5}$-$\frac{12}{25}$x，
∴S_矩形EFGH=GH•MN=x•（$\frac{12}{5}$-$\frac{12}{25}$x）
=-$\frac{12}{25}$（x²-5x）
=-$\frac{12}{25}$（x²-5x+$\frac{25}{4}$-$\frac{25}{4}$）
=-$\frac{12}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+3．
∵-$\frac{12}{25}$＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，矩形EFGH的面積取到最大值，最大值為3．
∵（$\frac{60}{37}$）²＜3，
∴內(nèi)接正方形的面積不是最大，該三角形內(nèi)接矩形的最大面積是3．
故答案分別為：不是、3；
（3）∵內(nèi)接矩形的最大面積為3，直角三角形面積為$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴內(nèi)接矩形的最大面積與直角三角形面積的比是$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$；

（二）小明的猜想正確．
如圖5，

∵四邊形EFGH是矩形，
∴GH∥EF，
∴△CGH∽△CAB．
∵CM⊥GH，CN⊥AB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$，
∵AB=c，CN=h，
∴CM=$\frac{CN•GH}{AB}$=$\frac{h•GH}{c}$．
設(shè)GH=x，則CM=$\frac{hx}{c}$，MN=h-$\frac{hx}{c}$，
∴EH=MN=h-$\frac{hx}{c}$，
在Rt△EHG中，
EG²=GH²+EH²=x²+（h-$\frac{hx}{c}$）²
=$\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$x²-$\frac{2{h}^{2}}{c}$x+h²．
∵$\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$＞0，
∴EG²取到最小值，
最小值為$\frac{4×\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}×{h}^{2}-（-\frac{2{h}^{2}}{c}）^{2}}{4×\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\frac{{c}^{2}{h}^{2}}{{h}^{2}+{c}^{2}}$，
∴EG的最小值為$\sqrt{\frac{{c}^{2}{h}^{2}}{{h}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{ch\sqrt{{h}^{2}+{c}^{2}}}{{h}^{2}+{c}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)（相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）、二次函數(shù)的最值性、勾股定理等知識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到了重要的數(shù)學(xué)方法-配方法，求多項(xiàng)式的最值，常�？赏ㄟ^(guò)運(yùn)用配方法來(lái)解決問(wèn)題．