Question

10．已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且BD=BA，過點B畫AD的垂線交AC于點O，以O(shè)為圓心，AO為半徑畫圓．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，tan∠C=$\frac{4}{3}$，求線段AB的長，sin∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，通過證得△ABO≌△DBO，證得∠ODB=∠OAB=90°，從而證得BD⊥OD，得出BC是⊙O的切線；
（2）通過正切函數(shù)求得OC，即可求得AC，然后通過正切函數(shù)求得AB，最后根據(jù)∠ADB=∠DAB=∠AOB，從而求得sin∠ADB的值．

解答 解：（1）連接OD，
∵BA=BD，BO⊥AD，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABO和△DBO中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABO=∠DBO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SAS），
∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，
∴BD⊥OD，
∴BC是⊙O的切線；
（2）∵在RT△ODC中，CD=$\frac{OD}{tan∠C}$=$\frac{8}{\frac{4}{3}}$=6，
∴OC=10，
∴AC=18
在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×$\frac{4}{3}$=24，
∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，
∴sin∠ADB=sin∠AOB=$\frac{24}{\sqrt{2{4}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$，

點評 本題考查了切線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．