Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC；垂足為點F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點．OD為中位線，則OD∥AC，根據(jù)DF⊥AC可得OD⊥DF．得證；
（2）連接OE，利用（1）的結(jié)論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中點，
∴BD=5．
連接OD；
由中位線定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半徑為4，
∴S_扇形AOE=4π，S_△AOE=8
∴S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE=4π-8．

點評 本題考查切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，學會用分割法求陰影部分面積，屬于中考�？碱}型．