Question

12．在矩形ABCD中，AD=15，點E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，△ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，過點F作FG⊥AD，垂足為點G，如圖，如果AD=3GD，那么DE=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作EH⊥FG于H，如圖，設(shè)DE=x，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=15，EF=DE=x，再利用AD=3GD可計算出DG=5，AG=10，則在Rt△AFG中，根據(jù)勾股定理可計算出FG=5$\sqrt{5}$，接著利用四邊形DEHG為矩形得到HG=DE=x，HE=GD=5，所以HF=FG-HG=5$\sqrt{5}$-x，然后在Rt△FHE中利用勾股定理得到5²+（5$\sqrt{5}$-x）²=x²，然后解方程求出x即可．

解答 解：作EH⊥FG于H，如圖，設(shè)DE=x，
∵△ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，
∴AF=AD=15，EF=DE=x，
∵AD=3GD，
∴DG=5，
∴AG=10，
在Rt△AFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{A{F}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
易得四邊形DEHG為矩形，
∴HG=DE=x，HE=GD=5，
∴HF=FG-HG=5$\sqrt{5}$-x，
在Rt△FHE中，∵HE²+HF²=EF²，
∴5²+（5$\sqrt{5}$-x）²=x²，解得x=3$\sqrt{5}$，
即DE=3$\sqrt{5}$．
故答案為3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理．