Question

1．如圖，AB是⊙的直徑，C是$\widehat{AB}$的中點，BD⊥AB交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交DB于F，AF交⊙O于H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）連接CH，求∠AHC的長；
（3）若OB=2，①求BH的長．②求CH的長．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由AB為直徑，且C為弧AB的中點，利用圓周角定理及等弧對等弦，得到三角形ABC為等腰直角三角形，進而確定出三角形ABD為等腰直角三角形，利用三線合一得到AC=CD；
（2）利用等弧所對的圓周角相等即可求出∠AHC的度數(shù)；
（3）①連接OC，則OC⊥AB，證出OC∥DF，由E是OB的中點，得出BF=OC=OB，根據(jù)勾股定理求出AF，然后由△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，即可求出BH；
②求出AC與AH的長，在三角形ACH中，利用余弦定理即可求出CH的長．

解答 解：（1）連接BC，
∵AB為圓O的直徑，且C為$\widehat{AB}$的中點，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠ABD=90°，
∴△ABD為等腰直角三角形，即AB=DB，
∵BC⊥AD，
∴C為AD的中點，
∴AC=CD；
（2）∵∠AHC與∠ABC都對$\widehat{AC}$，
∴∠AHC=∠ABC=45°；
（3）①連接OC，如圖所示：
∵AC=BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，
∴OC∥DF，
∵E是OB的中點，
∴BF=OC=OB=2，
∵∠ABF=90°，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∠AHC=45°，
∴由余弦定理得：AC²=AH²+CH²-2AH•CH•cos45°，即8=$\frac{64}{5}$+CH²-$\frac{8\sqrt{10}}{5}$CH，
整理得：5CH²-8$\sqrt{10}$CH+24=0，
解得：CH=$\frac{8\sqrt{10}±\sqrt{640-480}}{10}$=$\frac{8\sqrt{10}±2\sqrt{10}}{10}$，即CH=$\sqrt{10}$或CH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形面積求法，以及余弦定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．