Question

3．如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y=-$\frac{2}{x}$在第二象限分支上的一個動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上運(yùn)動，則k的值是6．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，-$\frac{2}{a}$），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，繼而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：設(shè)A（a，-$\frac{2}{a}$），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{2}{a}）}^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{12}{{a}^{2}}}$，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則可得∠BOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠BOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{x}{y}$，
解得：y=$\frac{{a}^{2}}{2}$x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{12}{{a}^{2}}$，
將y=$\frac{{a}^{2}}{2}$x代入，可得：x²=$\frac{12}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，y=$\sqrt{3}$a，
則k=xy=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合考察的知識點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識融會貫通，注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．