Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)CF∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，DE⊥BC于E交CF于點(diǎn)F．連結(jié)BF，CD．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFCD是什么特殊的四邊形？說(shuō)明你的理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BFCD是正方形．

Answer 1

分析 （1）先證明AC∥DE，得出四邊形BFCD是平行四邊形，再“根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”證出CD=BD，得出四邊形BFCD是菱形；
（2）先求出∠ABC=45°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠DBF=90°，即可證出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFCD是菱形，
理由：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DEB，
∴AC∥DF，
∵CF∥AB，即CF∥AD，
∴四邊形ADFC是平行四邊形，
∴CF=AD，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四邊形BFCD是菱形；

（2）如圖，當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BFCD是正方形．
理由：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠DBF，
∴∠DBF=90°，
∴四邊形BFCD是正方形．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用；根據(jù)題意證明線(xiàn)段相等和直角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．