Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于點(diǎn)E，且CD=AC，DF∥BC，分別與AB，AC交于點(diǎn)G，F(xiàn)（說明：在有一個(gè)銳角為30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半．）
（1）求證：△AEC≌△DFC；
（2）求證：△DGB為正三角形；
（3）若ED=1，求四邊形FGEC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CFD=90°，由CD⊥AB，得到∠AEC=90°，于是推出△AEC≌△DFC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=CF，∠FDC=∠A=30°，于是得到AF=DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DGB=60°，CE=$\frac{1}{2}$AC，求出CF=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE=∠BCE=30°，得到∠BDG=60°，即可得到結(jié)論；
（3）由已知條件的CF=1，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
在△AEC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=CFD}\\{∠ACE=∠DCF}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFC；

（2）證明：∵△AEC≌△DFC，
∴CE=CF，∠FDC=∠A=30°，
∴AF=DE，
∵AB⊥CD，
∴∠DGB=60°，CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AF=CF，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∴∠BDE=∠BCE=30°，
∴∠BDG=60°，
∴∠GBD=60°，
∴∠BGD=∠GBD=∠GDB，
∴△DGB是等邊三角形；

（3）解：∵DE=1，
∴CF=1，
∵∠EDG=30°，
∴DF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形FGEC的面積=S_△DCF-S_△DEG=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×$1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．