Question

14．如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，弦CM垂直AB于點(diǎn)F，連接AD，交CF于點(diǎn)P，連接BC，∠DAB=30°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若CM=4$\sqrt{3}$，求$\widehat{AC}$的長度．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據(jù)AB為⊙O的直徑，求出∠ADB=90°，得到∠ABD=60°，再根據(jù)C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，求出∠ABC的度數(shù)；
（2）連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，求出CO的長，即可求出$\widehat{AC}$的長度．

解答 解：（1）如圖，連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°．
∵C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°．

（2）如圖，連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，
∵CM⊥直徑AB于點(diǎn)F，
∴CF=$\frac{1}{2}$CM=2$\sqrt{3}$．
∴在Rt△COF中，CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=4，
∴$\widehat{AC}$的長度為$\frac{60π×4}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，作出輔助線，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半解答．