Question

6．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，E為AB上一點，BE=2，點F在BC邊上運動，以EF為邊做菱形FEHG，使點H落在邊AD上，點G落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上，若BF=x，△FCG的面積為y．
（1）當x=4時，四邊形FEHG為正方形．
（2）求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時相應的圖形（不要求寫作法和尺規(guī)作圖），并求△FCG面積的最大值和最小值（計算過程可簡要書寫）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14可直接求出答案；
（2）連接FH，作GQ⊥BC于Q，根據(jù)菱形FEHG，求證△QGF≌△AEH，可得S_△FCG=$\frac{1}{2}$CF•GQ=16-2x，然后即可求得y與x的函數(shù)關系式；
（3）當點F運動到使菱形FEHG的頂點H與點A重合時，x取得最小值，△FCG的面積最大，利用勾股定理求得BF，可得y=16-2x=16-4$\sqrt{3}$，然后即可求得△FCG的面積的最大值．

解答 解：（1）BF=x=4時，AE=6-2=4=BF，
∵∠A=∠B=90°，四邊形EFGH是菱形，
∴EH=EF，
∵在Rt△AEH和Rt△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{EH=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEH≌Rt△BFE（HL），
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=180°-90°=90°，
即菱形EFGH是正方形，
∴當x=4時，四邊形FEHG為正方形；

（2）如圖1，連接FH，作GQ⊥BC于Q，則∠GQF=90°，∠GQF=∠A．
∵菱形FEHG，
∴GF=EH，EH∥FG，
∴∠EHF=∠GFH，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFC，
∴∠AHF-∠EHF=∠HFC-∠GFH，即∠AHE=∠GFQ，
∴△QGF≌△AEH，
∴GQ=EA=AB-BE=4，
∵BC=8，BF=x，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$CF•GQ=16-2x．
∴y與x的函數(shù)關系式y(tǒng)=16-2x；

（3）如圖2，當點F運動到使菱形FEHG的頂點H與點A重合時，x取得最小值，△FCG的面積最大，
畫法如下：以E為圓心，EA為半徑畫弧，交BC邊上于點F，平移EA到FG，連接AG，得到四邊形FEHG為菱形，此時EF=EA=AB-BE=4，BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
y=16-2x=16-4$\sqrt{3}$，即△FCG的面積的最大值為16-4$\sqrt{3}$．
如圖3，當點F運動到使菱形FEHG的頂點G落在梯形ABCD的CD邊上時，x取最大值，△FCG的面積取得最小值，畫法如下：
在圖1中有GQ=4可知．無論點F在BC邊上如何運動，點G到BC及AD的距離都不變，分別為4、2，取AE的中點P，（AP=2），過點P作BC的平行線，交CD與G，作EG的垂直平分線，分別交AD、BC于H、F，順次連接F、E、H、G得到四邊形FEHG，可證的四邊形FEHG為菱形．
如圖4，作CM⊥AD與M，GK⊥AD于K，則BP=4，EP=AP=2，
∵梯形ABCD中，AB=6，BC=8．AD=14，
∴CM=AB=6，DM=AD-AM=6，GK=AP=2，
∵DM=CM，∠CMD=90°，
∴∠D=45°，
∴DK=GK=2，PG=AK=AD-DK=12，
與（2）同理可證△KGH≌△BEF，KH=BF，
設此時的BF=x，則AH=AD-KH-DK=14-BF-2=12-x，在直角三角形AEH與直角三角形BEF中，由勾股定理得
AE²+AH²=EH²，BE²+BF²=EF²，由菱形的性質(zhì)可知EH=EF，
∴AE²+AH²=BE²+BF²，即4²+（12-x）²=2²+x²，
解得x=$\frac{13}{2}$，此時y=16-2x=3，
∴△FCG面積的最小值為3．

點評 此題主要考查直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．