Question

18．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，連PC交⊙O于點(diǎn)D，若BD∥AC，則tan∠ACP的值是（　　）

• A． $\frac{3}{\sqrt{3}}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 連接AD，CB，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于E，由PA、PB是⊙O的切線，得到PA=PB，∠3=∠5，1=2，由于AC∥BD，得到∠ACB=∠DBE，推出∠3=4，∠5=4，通過(guò)△ADP≌△BPE，得到AD=BE，PD=PE，設(shè)PE=PD=a，BE=BC=AD=b，由射影定理得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到結(jié)果tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：連接AD，CB，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于E，如圖，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠3=∠5，1=2，
∵AC∥BD，
∴∠ACB=∠DBE，
∴∠3=4，
∴∠5=4，
在△ADP與△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=PEB=90°}\\{∠5=∠4}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPE，
∴AD=BE，PD=PE，
∵AC∥BD，
∴AD=BC，
設(shè)PE=PD=a，BE=BC=AD=b，
∵∠CAP=90°，
由射影定理得：AD²=PD•CD，
∴CD=$\frac{{AD}^{2}}{PD}$=$\frac{^{2}}{a}$，
∴PC=$\frac{^{2}}{a}$+a，CE=2b，
在Rt△PCE中，（2b）²+a²=${（\frac{^{2}}{a}+a）}^{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．