Question

11．如圖1，邊長為6$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對角線相交于O，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)，在BD上以每秒2個單位的速度向D運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，在OC上以每秒1個單位的速度向C運(yùn)動，運(yùn)動的時(shí)間為t，（0＜t＜6）

（1）當(dāng)t=$\frac{36±6\sqrt{3}}{11}$時(shí)，∠FEO=60°．
（2）如圖2，當(dāng)0＜t＜3時(shí)，取BE的中點(diǎn)M，連FM、AE，求證：∠OAE+∠OMF為定值．
（3）如圖3，取AB的中點(diǎn)N，當(dāng)t=$\frac{-3+\sqrt{153}}{4}$時(shí)，F(xiàn)、E、N三點(diǎn)在同一條直線上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時(shí)間和速度表示出OE、OF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念列式計(jì)算即可；
（2）作EH⊥AB于H，證明△FOM∽△EHA，得到∠FMO=∠EAH，得到答案；
（3）作NP∥OA交OB于P，根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出NP的長，列出比例式求解即可．

解答 解（1）∵正方形邊長為6$\sqrt{2}$，
∴AC=BD=12，OA=OB=6，
當(dāng)點(diǎn)E在OB上時(shí)，
∠FEO=60°，
tan∠FEO=$\frac{OF}{OE}$，
即$\frac{t}{6-2t}$=$\sqrt{3}$，
解得，t=$\frac{36-6\sqrt{3}}{11}$，
當(dāng)點(diǎn)E在OD上時(shí)，
同理可得，t=$\frac{36+6\sqrt{3}}{11}$．
（2）如圖2，作EH⊥AB于H，
由題意得，OF=t，OM=6-t，$\frac{OF}{OM}$=$\frac{t}{6-t}$，
∵BE=2t，∠EBH=45°，
∴EH=BH=$\sqrt{2}$t，AH=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
$\frac{EH}{AH}$=$\frac{\sqrt{2}t}{6\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$=$\frac{t}{6-t}$，
$\frac{OF}{OM}$=$\frac{EH}{AH}$，∠FOM=∠EHA=90°，
∴△FOM∽△EHA，
∴∠FMO=∠EAH，
∴∠OAE+∠OMF=∠OAE+∠EAH=45°．
（3）如圖3，F(xiàn)、E、N三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，
作NP∥OA交OB于P，
∵N為AB的中點(diǎn)，
∴NP=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴$\frac{NP}{OF}$=$\frac{PE}{EO}$，
即$\frac{3}{t}$=$\frac{2t-3}{6-2t}$，
解得，t=$\frac{-3±\sqrt{153}}{4}$，
根據(jù)題意，t=$\frac{-3+\sqrt{153}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)移動的時(shí)間和速度表示出線段的長度、結(jié)合相似三角形的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．