Question

17．在△ABC中，AB=AC，O是BC中點(diǎn)，BC=12$\sqrt{3}$cm，AB與⊙O相切于點(diǎn)D，AD：DB=1：3
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）接OD，AO，過O作OE⊥AC于E，由AB與⊙O相切于點(diǎn)D，得到OD⊥AB，∠ODA=90，根據(jù)AB=AC，O是BC中點(diǎn)，得到∠AEO=∠ADO=90，通過三角形全等得到OD=OE，問題即可得證；
（2）由AB=AC，O是BC中點(diǎn)，得到AO⊥BC，由于∠1+∠2=∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，通過△ADO∽△ODB，得到$\frac{AD}{OD}$=$\frac{OD}{BD}$，設(shè)AD=x，BD=3x，在R_t△ADO中，tan∠2=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出∠2=30°∠3=60°得到∠DOC=120°于是求得S_陰影=S_△ABC-S_△BOD-S_扇形DOF=$\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}$-$\frac{120π{•（3\sqrt{3}）}^{2}}{360}$=54-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-9π．

解答 解：（1）連接OD，AO，過O作OE⊥AC于E，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
∵AB=AC，O是BC中點(diǎn)，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
在△AOD與△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠CAO}\\{∠AEO=∠ADO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△AOE（AAS），
∴OD=OE，
∴AC與⊙O相切；

（2）∵AB=AC，O是BC中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠ADO=∠BDO=90°，
∴△ADO∽△ODB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{OD}{BD}$，
∴OD²=AD•BD，
∵AD：DB=1：3，
∴設(shè)AD=x，BD=3x，
∴OD²=x•3x，
∴$OD=\sqrt{3}x$，
在R_t△ADO中，tan∠2=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠2=30°∠3=60°，
∴∠DOC=120°，
∵BC=12$\sqrt{3}$，
∴BO=6$\sqrt{3}$，
∴OD=$\frac{6\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，BD=3$\sqrt{3}$$•\sqrt{3}$=9，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△BOD-S_扇形DOF=$\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}$-$\frac{120π{•（3\sqrt{3}）}^{2}}{360}$=54-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-9π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．