Question

5．政府為開發(fā)“江心島O”，從倉儲D處調(diào)集物資，計(jì)劃先用汽車運(yùn)到與D在同一直線上的C，B，A三個(gè)碼頭中的一處，再用貨船運(yùn)到小島O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km．若汽車行駛的速度為50km/時(shí)，貨船航行的速度為25km/時(shí)，
（1）求B、C兩個(gè)碼頭之間的距離；
（2）這批物資在哪個(gè)碼頭裝船，最早運(yùn)抵小島O？（在物資搬運(yùn)能力上每個(gè)碼頭工作效率相同，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）．

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠COD=15°，則CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出OA=$\frac{1}{2}$OC=10，CA=$\sqrt{3}$OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出BA=OA=10，OB=$\sqrt{2}$OA≈14，則BC=7；
（2）根據(jù)速度公式分別計(jì)算出在三個(gè)碼頭裝船，運(yùn)抵小島所需的時(shí)間，再比較時(shí)間的大小進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）∵∠OCA=∠D+∠COD，
∴∠COD=30°-15°=15°，
∴CO=CD=20，
在Rt△OCA中，∵∠OCA=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OC=10，CA=$\sqrt{3}$OA=10$\sqrt{3}$≈17，
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°，
∴BA=OA=10，OB=$\sqrt{2}$OA≈14，
∴BC=17-10=7，

（2）當(dāng)這批物資在C碼頭裝船，運(yùn)抵小島O時(shí)，所用時(shí)間=$\frac{20}{50}$+$\frac{20}{25}$=1.2（小時(shí)）；
當(dāng)這批物資在B碼頭裝船，運(yùn)抵小島O時(shí)，所用時(shí)間=$\frac{20+7}{50}$+$\frac{14}{25}$=1.1（小時(shí)）；
當(dāng)這批物資在A碼頭裝船，運(yùn)抵小島O時(shí)，所用時(shí)間=$\frac{20+7}{50}$+$\frac{10}{25}$=1.14（小時(shí)）；
所以這批物資在B碼頭裝船，最早運(yùn)抵小島O．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．