Question

6．當n=1，2，3，4，5，…，2012，2013時，二次函數(shù)y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的圖象與x軸所截的線段長度之和為（　�。�

• A． $\frac{2011}{2012}$
• B． $\frac{2012}{2013}$
• C． $\frac{2013}{2014}$
• D． $\frac{2014}{2015}$

Answer 1

分析 令y=0求得方程的兩根分別為x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{n+1}$，從而可求得圖象與x所截線段的長度為$\frac{1}{n（n+1）}$，然后將n=1，2，3，4，5，…，2012，2013代入，最后求得它們的和即可．

解答 解：令y=0得：（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
∴（nx-1）[（n+1）x-1]=0．
∴x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{n+1}$．
∴圖象與x軸所截的線段長度=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴圖象與x軸所截的線段長度之和=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…$+\frac{1}{2012×2013}+\frac{1}{2013×2014}$
=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…$+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$
=1-$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2013}{2014}$．
故選：C．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與x軸的交點、因式分解法解一元二次方程，利用拆項法求得圖象與x軸所截的線段長度之和是解題的關鍵．