Question

1．如圖（1）是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀．拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10cm．橋洞與水面的最大距離是5m．橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．現(xiàn)把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖（2）．求：
（1）拋物線的解析式；
（2）兩盞景觀燈P₁、P₂之間的水平距離．

Answer 1

分析 （1）由圖形可知這是一條拋物線，根據(jù)圖形也可以知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），設(shè)出拋物線的解析式將兩點(diǎn)代入可得拋物線方程；
（2）第二題中要求燈的距離，只需要把縱坐標(biāo)為4代入，求出x，然后兩者相減，就是它們的距離．

解答 解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-5）²+5，
把（0，1）代入y=a（x-5）²+5，
得a=-$\frac{4}{25}$，
∴y=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+5（0≤x≤10）；
（2）由已知得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是4，
∴4=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+5，
∴$\frac{4}{25}$（x-5）²=1，
∴x₁=$\frac{15}{2}$，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴兩景觀燈間的距離為 $\frac{15}{2}$-$\frac{5}{2}$=5米．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，從圖象中可以看出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．