Question

11．如圖，在正方形ABCD外側作直線DQ，點C關于直線DQ的對稱點為P，連接DP、AP，AP交直線DQ于點F，交BD于點E．
（1）依題意補全圖形；
（2）若∠QDC=25°，求∠DPA的度數(shù)；
（3）探究線段AE、EF、FP的等量關系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；
（2）利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進而得出答案；
（3）由軸對稱的性質(zhì)可得：EC=EA，F(xiàn)C=FP，∠DPA=∠DAP=∠DCF，進而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）∵∠QDP=∠QDC=25°，DP=DC=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠QDP=∠QDC=25°，
∴∠PDA=140°，
∴∠DPA=$\frac{180°-140°}{2}$=20°；
（3）AE²=EF²+FP²，
∵△DAE≌△DCE，△DFP≌△DFC，
可得：EC=EA，F(xiàn)C=FP，
∠DPA=∠DAP=∠DCF，
∵∠DEA+∠DAP=∠CEF+∠DCF=90°，
∴∠EFC=∠ADC=90°，
∴AE²=EF²+FP²

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱的性質(zhì)得出對應邊相等是解題關鍵．