Question

19．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標：A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF⊥x軸于點M，交拋物線于點F．設(shè)點P的橫坐標為m：
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
②當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）對于拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出OC的值，得出C的坐標，令y=0求出x的值，確定出A，B的坐標，進而得出拋物線對稱軸；
（2）①設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；將x=1代入拋物線解析式，求出y的值，確定出D坐標，將x=1代入直線BC解析式求出y的值，確定出E坐標，求出DE長，將x=m代入拋物線解析式表示出F縱坐標，將x=m代入直線BC解析式表示出P縱坐標，兩縱坐標相減表示出線段PF，
②由DE與FP平行，要使四邊形PEDF為平行四邊形，只需DE=PF，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，檢驗即可．

解答 解：（1）在y=-x²+2x+3中，當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解：得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
故答案為：-1，0；3，0；0，3；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3；
在y=-x²+2x+3中，當x=1時，y=4，
∴D（1，4），
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，
∴線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
②∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，解得：m=2或m=1（不合題意，舍去）．
則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，拋物線與坐標軸的交點，平行四邊形的判定，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關(guān)鍵．