Question

10．已知反比例函數(shù)$y=\frac{m-1}{x}$（m為常數(shù)）的圖象在第一、三象限內(nèi)．
（1）求m的取值范圍；
（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形ABOD的頂點(diǎn)D，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，3），（-2，0）．
①求出該反比例函數(shù)解析式；
②設(shè)點(diǎn)P是該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且在△DOP中，OD=OP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由圖象在第一象限可得到關(guān)于m的不等式，可求得m的取值范圍；
（2）①由平行四邊形的性質(zhì)可求的D點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求得反比例函數(shù)解析式；②以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，再根據(jù)對(duì)稱性可求得該圓與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵反比例函數(shù)$y=\frac{m-1}{x}$（m為常數(shù)）的圖象在第一、三象限內(nèi)，
∴m-1＞0，
解得m＞1；

（2）①∵四邊形ABOC為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴m-1=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為$y=\frac{6}{x}$；
②如圖所示，以O(shè)為圓心，OD長為半徑作圓O，與雙曲線$y=\frac{6}{x}$分別交于D，P₁，P₂，P₃四點(diǎn)．

根據(jù)圖形的對(duì)稱性，得
點(diǎn)D（2，3）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（3，2）；
點(diǎn)D（2，3）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-2，-3）；
點(diǎn)P₁（3，2）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)$P_3^{\;}$的坐標(biāo)為（-3，-2）．
由于O、D、P₂三點(diǎn)共線．
所以符合題意的P點(diǎn)只有兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（3，2），（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)等．在（1）中注意反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k與圖象的關(guān)系，在（2）①中求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在②中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．