Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，3）、點B（4，1），點P是x軸正半軸上一動點．給出4個結(jié)論：
①線段AB的長為5；
②在△APB中，若AP=$\sqrt{13}$，則△APB的面積是3$\sqrt{2}$；
③使△APB為等腰三角形的點P有3個；
④設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），則$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值為4$\sqrt{2}$．
其中正確的結(jié)論有④．

Answer 1

分析 ①利用勾股定理可以計算AB的長；
②如圖2，作輔助線，利用面積差可得△APB的面積；
③如圖3，分別以AB為腰和底邊作等腰三角形有兩個，以∠B為頂角，以AB為腰作等腰三角形，其另一點P交在x軸的負半軸上，這一種情況不成立；
④如圖4，先作垂線段BD，由勾股定理可知：$\sqrt{9+{x}^{2}}$就是PA的長，$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$就是PB的長，所以$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值就是PA+PB的最小值，根據(jù)軸對稱的最短路徑問題可得結(jié)論．

解答 解：①如圖1，過B作BC⊥OA于C，
∵點A（0，3）、點B（4，1），
∴AC=3-1=2，BC=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故①結(jié)論不正確；
②如圖2，在Rt△APO中，AO=3，AP=$\sqrt{13}$，
∴OP=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{3}^{2}}$=2，
過B作BD⊥x軸于D，
∴BD=1，PD=4-2=2，
∴S_△APB=S_梯形AODB-S_△AOP-S_△PDB，
=$\frac{1}{2}$×OD×（BD+AO）-$\frac{1}{2}$AO•OP-$\frac{1}{2}$PD•BD，
=$\frac{1}{2}$×4×（1+3）-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×2×1，
=8-3-1，
=4，
故②結(jié)論不正確；
③如圖3，
i）以A為圓心，以AB為半徑畫圓與x軸的正半軸有一交點P₁，得△AP₁B是等腰三角形；
ii）作AB的中垂線，交x軸的正半軸有一交點P₂，得△AP₂B是等腰三角形；
綜上所述，使△APB為等腰三角形的點P有2個；
故③結(jié)論不正確；
④如圖4，過B作BD⊥x軸于D，
∵P（x，0），
∴OP=x，PD=4-x，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{{3}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{9+{x}^{2}}$，PB=$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$，
作A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B交x軸于P，則PA=PA'，
∴AP+PB=A'P+PB=A'B，
此時AP+PB的值最小，
過B作BC⊥OA于C，
則A'C=3+3-2=4，BC=4，
由勾股定理得：A'B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AP+PB的最小值是4$\sqrt{2}$，
即設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），則$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值為4$\sqrt{2}$．
故④結(jié)論正確；
綜上所述，其中正確的結(jié)論有：④；
故答案為：④．

點評 本題考查了軸對稱的最短路徑問題、等腰三角形的判定、圖形與坐標(biāo)特點、勾股定理，是一個不錯的綜合題，難度適中，有等腰三角形和軸對稱的作圖問題，也有求最值問題，第4問中，熟練掌握并能靈活運用軸對稱的最短路徑問題是關(guān)鍵．