Question

16．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是線段上異于A、B的任一點(diǎn)，求證：AP²+BP²=2PC²；
（提示：可將三角形BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形ADC，連接PD…）
（2）如圖2，當(dāng)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將三角形BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形ADC，連接PD，得出AD=PB，CD=CP，∠DAC=∠CBP，∠DCA=∠BCP，得出△DAP和△CDP是直角三角形，利用勾股定理得出答案即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，則△CPD為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，在△PDB中，PB=1，PD=$\sqrt{2}$，DB=3，易得PB²+PD²=BD²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PBD為直角三角形，即可得到∠BPC的度數(shù)

解答 （1）證明：將三角形BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADC，
因此AD=PB，CD=CP，∠DAC=∠CBP，∠DCA=∠BCP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCP=90°，∠DAP=90°，
∴△DAP和△CDP是直角三角形，
∴AP²+AD²=PD²；CP²+CD²=PD²；
∴AP²+BP²=2PC²；
（2）解：如圖，

把△ACP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，連接DP，
∵△ACP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，
∴CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，
∴△CPD為等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，
在△PDB中，PB=1，PD=2$\sqrt{2}$，DB=3，
而1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴PB²+PD²=BD²，
∴△PBD為直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=45°+90°=135°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理的運(yùn)用．