Question

8．如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-$\sqrt{3}$），菱形ABCD的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求菱形ABCD的面積；
（3）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式，并寫出其對稱軸方程與頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，B、D關(guān)于原點(diǎn)對稱，結(jié)合條件可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由勾股定理求出OA和OB的長，得出AC和BD的長，即可求出菱形的面積；
（3）由待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再化成頂點(diǎn)式，即可得出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
又∵點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-$\sqrt{3}$），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，-2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）；
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4，OB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴AC=2OA=8，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×4=16；
（3）設(shè)經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bc+c，
把A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{12a-2\sqrt{3}b+c=2}&{\;}\\{a-b+c=-\sqrt{3}}&{\;}\\{a+b+c=\sqrt{3}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{11}}&{\;}\\{b=\sqrt{3}}&{\;}\\{c=-\frac{8}{11}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴過A、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式為y=$\frac{8}{11}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{8}{11}$；
∵y=$\frac{8}{11}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{8}{11}$=$\frac{8}{11}$（x+$\frac{11\sqrt{3}}{16}$）²-$\frac{619}{352}$，
∴對稱軸為x=-$\frac{11\sqrt{3}}{16}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{11\sqrt{3}}{16}$，-$\frac{619}{352}$）．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積的計(jì)算等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．