Question

19．已知拋物線的頂點(diǎn)為（-1，4），且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，由已知條件可得h=-1，k=4，再有條件：它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，求出a的值即可．

解答 解：設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
∴，
∴y=a（x+1）²+4，
∵且它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，
令y=0得，方程0=a（x+1）²+4，
即：ax²+2ax+a+4=0，
∵拋物線y=a（x+1）²+4在x軸上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的根，設(shè)為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+4}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=6，
即4-4×$\frac{a+4}{a}$=36
解得：a=-$\frac{4}{9}$，
∴該拋物線的解析式為：y=-$\frac{4}{9}$（x+1）²+4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式和一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根．