Question

9．如圖，在△ABC中，BC=2AC，∠C=2∠B，求證：∠A=90°．

Answer 1

分析 作∠ACB的平分線CD交AB于點D，過D作DE⊥BC于點E，構(gòu)造直角三角形和等腰三角形，由∠ACD=∠BCD，∠C=2∠B得到∠BCD=∠B⇒△DBC是等腰三角形，由SAS證得△ECD≌△ACD，從而得到結(jié)論．

解答 證明：作∠ACB的平分線CD交AB于點D，過D作DE⊥BC于點E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠C=2∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴△DBC是等腰三角形，
又∵DE⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC．
∵BC=2AC，
∴CE=CA，
在△BED與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CA}\\{∠ACD=∠BCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BCD（SAS）．
∴∠A=∠CED=90°．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形全等三角形的判定和性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．