Question

6．如圖，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．
（1）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；
如果能，請直接寫出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，對角線互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠OAF=∠OCE，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得到AF=CE；
（2）四邊形BEDF是菱形可得EF⊥BD，根據(jù)勾股定理列式求出AC=2，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出旋轉(zhuǎn)角即可．

解答 解：（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠EOC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則BD⊥EF．
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°，
即：旋轉(zhuǎn)角為45°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟練掌握平行四邊形，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．