Question

4．如圖，平行四邊形ABCD中，AD=4，∠A=60°，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的中點(diǎn)，且EF=$\sqrt{19}$，連接EB并延長(zhǎng)至H，使BE=BH，連接HC并延長(zhǎng)與EF延長(zhǎng)線(xiàn)交于G，N是線(xiàn)段EG上一動(dòng)點(diǎn)，以EH為對(duì)角線(xiàn)的所有平行四邊形ENHM中，MN的最小值是$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．

Answer 1

分析 連接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，F(xiàn)J⊥AD于J．首先想辦法求出DR，由題意可知，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，MN的值最小，此時(shí)BT=2DR，BN=BM=3DR，MN=6DR，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：連接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，F(xiàn)J⊥AD于J．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠JDF=∠DA=60°，
在Rt△DEJ中，DF=2DJ，設(shè)DJ=x，則DF=2x，F(xiàn)J=$\sqrt{3}$x，
在Rt△EFJ中，∵EJ²+FJ²=EF²，
∴（2+x）²+（$\sqrt{3}$x）²=19，
解得x=$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$（舍棄），
∵S_△EDF=$\frac{1}{2}$•DE•FJ=$\frac{1}{2}$•EF•DR，
∴DR=$\frac{3\sqrt{57}}{19}$，
由題意可知，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，MN的值最小，此時(shí)BT=2DR，BN=BM=3DR，MN=6DR，
∴MN的最小值為$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．
故答案為$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．