Question

19．已知二次函數(shù)y=x²-（3m-1）x+2m²-2m，其中m＞-1．
（1）若二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則m的值為$\frac{1}{3}$；
（2）二次函數(shù)與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，且-1≤$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{3}$x₂≤1，試求m的取值范圍；
（3）當(dāng)1≤x≤3時，二次函數(shù)的最小值是-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則b=0即可解題；
（2）根據(jù)二次函數(shù)求根公式可以求得x₁和x₂的值（用m表示），即可解題；
（3）分類討論，①對稱軸在x=1左側(cè)，②對稱軸在x=3右側(cè)，③對稱軸在x=1和x=3中間，即可求得m的值，即可解題．

解答 解：（1）二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則3m-1=0，解得：m=$\frac{1}{3}$；
故答案為 $\frac{1}{3}$；
（2）y=x²-（3m-1）x+2m²-2m=0時，
△=（3m-1）²-4（2m²-2m）=（m-1）²，
∴x₁=$\frac{（3m-1）-\sqrt{{（m+1）}^{2}}}{2}$=m-1，x₂=$\frac{（3m-1）+\sqrt{{（m+1）}^{2}}}{2}$=2m，
∵-1≤$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{3}$x₂≤1，
∴-1≤$\frac{m-1}{2}$-$\frac{2m}{3}$≤1，
整理得：-9≤m≤3，
∵m＞-1，
∴-1＜m≤3；
（3）①當(dāng)對稱軸x=$\frac{3m-1}{2}$≤1時，x=1，二次函數(shù)有最小值，此時-1＜m≤1，
代入x=1得：1-（3m-1）+2m²-2m=-1，
化簡得：2m²-5m+3=0，
解得：m=1，或m=$\frac{3}{2}$（舍去）；
②當(dāng)對稱軸x=$\frac{3m-1}{2}$≥3時，x=3，二次函數(shù)有最小值，此時m≥$\frac{7}{3}$，
代入x=3得：9-3（3m-1）+2m²-2m=-1，
化簡得：2m²-11m+13=0，
解得：m=$\frac{11+\sqrt{17}}{4}$，或m=$\frac{11-\sqrt{17}}{4}$（舍去）；
③當(dāng)對稱軸1＜x=$\frac{3m-1}{2}$＜3時，x=$\frac{3m-1}{2}$時，二次函數(shù)有最小值，此時1＜m＜$\frac{7}{3}$，
代入x=$\frac{3m-1}{2}$得：$\frac{{（3m-1）}^{2}}{4}$-$\frac{{（3m-1）}^{2}}{2}$+2m²-2m=-1，
化簡得：m²+2m-3=0，
解得：m=1或m=-3，（均舍去）
綜上所述，m的值為：$\frac{11+\sqrt{17}}{4}$或1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的求根公式，考查了二次函數(shù)的最小值問題，本題中運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．