Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)．
（1）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？
（2）若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD移動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△PBQ的面積為12cm²？

Answer 1

分析 （1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，設(shè)x秒后PQ=10cm，利用勾股定理得出即可．
（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上；③當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E．則根據(jù)題意，得
設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x₁=$\frac{8}{5}$，x₂=$\frac{24}{5}$；
∴經(jīng)過(guò)$\frac{8}{5}$s或$\frac{24}{5}$sP、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；

（2）連接BQ．設(shè)經(jīng)過(guò)ys后△PBQ的面積為12cm2．
①當(dāng)0≤y≤$\frac{16}{3}$時(shí)，則PB=16-3y，
∴$\frac{1}{2}$PB•BC=12，即$\frac{1}{2}$×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②當(dāng)$\frac{16}{3}$＜x≤$\frac{22}{3}$時(shí)，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，則
$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（3y-16）×2y=12，
解得y₁=6，y₂=-$\frac{2}{3}$（舍去）；
③$\frac{22}{3}$＜x≤8時(shí)，
QP=CQ-PQ=22-y，則
$\frac{1}{2}$QP•CB=$\frac{1}{2}$（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
綜上所述，經(jīng)過(guò)4秒或6秒△PBQ的面積為 12cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．