Question

19．問(wèn)題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求這個(gè)三角形的面積．
小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），然后在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．
（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：3.5．
思維拓展：
（2）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$a、2$\sqrt{2}$a、$\sqrt{17}$a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），求這個(gè)三角形的面積．
（4）直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）$\sqrt{5}$a是直角邊長(zhǎng)為a，2a的直角三角形的斜邊；2$\sqrt{2}$a是直角邊長(zhǎng)為2a，2a的直角三角形的斜邊；$\sqrt{17}$a是直角邊長(zhǎng)為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．、；
（4）函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，即y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+（2-0）^{2}}$的最小值，實(shí)際上就是求x軸上一點(diǎn)到（0，-3）以及（12，2）兩點(diǎn)的和的最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
故答案為：3.5；

（2）如圖：

S_△ABC=2a×4a-$\frac{1}{2}$a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$=3a²；

（3）解：構(gòu)造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n  
=5mn；
（4）函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$有最小值，即y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+（2-0）^{2}}$的最小值，
實(shí)際上就是求x軸上一點(diǎn)到（0，-3）以及（12，2）兩點(diǎn)的和的最小值，
而兩點(diǎn)間的距離是線段最短，所以，點(diǎn)到（0，-3）到點(diǎn)（12，2）的距離即為所求，
即$\sqrt{1{2}^{2}+（3+2）^{2}}$=13．
函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+4}$的最小值是13．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，弄清題意，畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．