Question

7．如圖，在正方形ABCD中，M為AB上的一點(diǎn)，N為BC上的一點(diǎn)，且BM=BN，BP⊥MC于點(diǎn)P，求證：DP⊥NP．

Answer 1

分析 首先證明△BPC∽△MBC，得到$\frac{CP}{BC}=\frac{PB}{BM}=\frac{BC}{MC}$，進(jìn)而證明CP/CD=BP/BN；由∠PCD=∠BMC=∠PBC，證明△BPN∽△PDC，得到∠BPN=∠CPD，即可解決問題．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD，
∴∠PCD=∠BMC，
∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠BCM=90°，而∠PBC+∠PBM=90°，
∴∠PBC=∠BMC，∠MCB=∠BCP，
∴△BPC∽△MBC；
∴CP：BC=BP：BM=BC：MC，
∵BM=BN，BC=CD，
∴CP：CD=BP：BQ，而∠PCD=∠BMC=∠PBC，
∴△BPN∽△PDC，
∴∠BPN=∠CPD，∠CPD+∠NPC=90°，
∴DP⊥PN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．