Question

14．如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，CG⊥DE于G，BG延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，CG延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)H，AB于N．下列結(jié)論：①DE=CN；②∠DGF=45°；③2BN=3CF；④CH+BH=DE．其中正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由△BNC≌△CED，即可得出DE=CN；
②如圖2，作輔助線構(gòu)建四邊形PBQG是矩形，證明△BPN≌△BQE，得BP=BQ，則四邊形PBQG是正方形，可得∠DGF=∠BGE=45°；
③如圖3，作輔助線，證明△CKF∽△FRD，根據(jù)相似比為1：2可得結(jié)論；
④如圖2，設(shè)PN=x，BP=2x，證明NH≠BH即可得出結(jié)論不正確．

解答 解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BNC+∠BCN=90°，
∵CG⊥DE，
∴∠EGC=90°，
∴∠BCN+∠DEC=90°，
∴∠BNC=∠DEC，
在△BNC和△CED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠CED}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△CED（AAS），
∴DE=CN；
所以①正確；
②如圖2，過(guò)B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長(zhǎng)線于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四邊形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四邊形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，
∴∠DGF=∠BGE=45°，
所以②正確；
③如圖3，過(guò)F作FR⊥DE于R，F(xiàn)K⊥CN于K，
同理得：四邊形RGKF是正方形，
∴FR=FK，
∵∠BCN=∠CFK，
∴tan∠BCN=tan∠CFK=$\frac{BN}{BC}=\frac{CK}{FK}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CK}{FR}=\frac{1}{2}$，
∵FK∥DG，
∴△CKF∽△FRD，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CK}{FR}=\frac{1}{2}$，
∴DF=2CF，
∴DC=3CF，
∵AB=2BN，
∴2BN=3CF，
所以③正確；
④如圖2，tan∠NBP=tan∠BCN=$\frac{NP}{BP}=\frac{1}{2}$，
設(shè)PN=x，BP=2x，則PG=BP=CG=PG=2x，DG=2CG=4x，
∵BP∥DG，
∴△BPH∽△DGH，
∴$\frac{BH}{DH}=\frac{PH}{GH}=\frac{BP}{DG}$=$\frac{2x}{4x}$=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：BN=$\sqrt{5}$x，
∴BC=2$\sqrt{5}$x，
∴BD=2$\sqrt{10}$x，
∴PH=$\frac{1}{3}$•2x=$\frac{2}{3}$x，BH=$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{10}$x=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$x，
∴NH=PN+PH=x+$\frac{2}{3}$x≠BH，
∴CH+BH≠CN，
即CH+BH≠DE，
所以④不正確；
本題正確的有：①②③；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生需要有比較強(qiáng)的綜合知識(shí)，本題是4個(gè)選項(xiàng)的判斷題，其實(shí)相當(dāng)于四問(wèn)的證明題，比較復(fù)雜，第二個(gè)選項(xiàng)中的度數(shù)利用對(duì)頂角相等和正方形的對(duì)角線將角平分為45°得出結(jié)論．