Question

8．我們可以定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

問(wèn)題探究
（1）如圖①已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，試在△ABC內(nèi)或邊上確定一點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形．
（2）如圖②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，且∠MBN=60°，試判斷四邊形DMBN是否為“等鄰邊四邊形”？并說(shuō)明理由．
嘗試應(yīng)用
（3）現(xiàn)有一個(gè)矩形材料ABCD，工程人員需要將其制作成一個(gè)“等鄰邊四邊形”面板，如圖③，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.5，點(diǎn)E在BC上，且BE=3，在矩形ABCD內(nèi)或者邊上，確定一點(diǎn)P，使四邊形ABEP為面積最大的“等鄰邊四邊形”，若能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)求出最大面積，若不能實(shí)現(xiàn)，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，①以B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧交AB于P，此時(shí)△PBC是等腰三角形．②以C為圓心，BC為半徑畫(huà)弧交AC于P′，此時(shí)△P′BC是等腰三角形．③作線段BC的垂直平分線垂足為F，交AB于E．線段EF上點(diǎn)，都滿足條件；
（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形“．只要證明△MBD≌△NBC即可解決問(wèn)題；
（3）能實(shí)現(xiàn)．分兩種情形討論求解即可；

解答 解：（1）如圖①中，

①以B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧交AB于P，此時(shí)△PBC是等腰三角形．
②以C為圓心，BC為半徑畫(huà)弧交AC于P′，此時(shí)△P′BC是等腰三角形．
③作線段BC的垂直平分線垂足為F，交AB于E．線段EF上點(diǎn)，都滿足條件．

（2）結(jié)論：四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形“．
理由：如圖②中，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，
∴BD=DC，∠MDB=∠C=60°，
∵∠MBN=∠DBC=60°，
∴∠MBD=∠NBC，
∴△MBD≌△NBC，
∴MB=BN，
∴四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形“．

（3）能實(shí)現(xiàn)．
理由：如圖③中，

①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{PI}$（不包括點(diǎn)I）上時(shí)，四邊形ABEP是“等鄰邊四邊形“，點(diǎn)P在AD上時(shí)，四邊形ABEP的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×4=14．
②以E為圓心，EB為半徑畫(huà)弧，當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{HT}$（不包括點(diǎn)H和點(diǎn)T）上時(shí)，四邊形ABEP是“等鄰邊四邊形“，P′E⊥AE，AE=5，P′E=3
四邊形ABEP的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×5×3=13.5，
綜上所述，等鄰邊四邊形ABEP的面積的最大值為14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等鄰邊四邊形的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．