Question

17．將邊長為a的正三角形各邊三等分，以這六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²．

Answer 1

分析 由于正三角形各邊三等分，就把整個三角形平均分成9個小正三角形，以這六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形正好相當(dāng)于6個小正三角形的面積．

解答 解：如圖所示：
∵新的正六邊形有三個頂點在正三角形的三邊上，且是三邊的等分點，
∴連接正三角形的頂點與它對邊的中點，可以看出新的正六邊形的面積是六個小正三角形的面積之和，
∵邊長為a的正三角形各邊三等分，
∴小正三角形的邊長為$\frac{1}{3}$a，
∴每個小正三角形的面積是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a×$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{9}-\frac{{a}^{2}}{36}}$=$\frac{1}{6}$a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²，
∴新的正六邊形的面積=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²×6=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²．

點評 此題考查了正三角形的性質(zhì)、正三角形面積的計算方法；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．